对积分变换的一些理解（洗了半小时澡想出来的）

学习

2023-12-21

傅立叶变换告诉我们对于周期函数可以用正余弦函数叠加，因此对于一般函数来说，也就是周期取无穷的特殊情况，因此傅立叶变换也适用一般函数。

而复变的傅立叶变换中象函数我觉得是一种保形映射，对

e^{i ω t}

这种带有正弦余弦性质的进行投影。象函数

F (ω)

对于

e^{i ω t}

进行从负无穷到正无穷积分，就是对于所有

e^{i ω t}

的正余弦函数映射的求和。

因此我们通过傅立叶变换得到是函数傅立叶展开的映射，由于保形映射具有线性性质，因此再很多求解复杂微积分方程中变换就可以将函数映射代数运算，最后在逆变换就可以了.

拉普拉斯变换则更适用一些。傅立叶变换的

e^{i ω t}

模为 1，不太能够展现函数性质，所以要从负无穷到正无穷积分

\int_{- \infty}^{+ \infty}

，而拉普拉斯有一个衰减因子，因此模是随时间改变的，因此只需要从 0- 时刻积分到正无穷即可

\int_{0 -}^{+ \infty}

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